Unidad 9 · Funciones Lineales y Cuadráticas

🎯 ¿Qué vamos a aprender?

📖 René Descartes y las coordenadas

René Descartes (1596–1650) inventó el sistema de coordenadas que lleva su nombre: las coordenadas cartesianas. Esto permitió expresar curvas mediante ecuaciones que relacionan sus coordenadas, revolucionando la ciencia y las matemáticas.

📌 Se llama "cartesiano" porque Descartes se escribía en latín como Cartesius.

🗺️ Mapa de la unidad

Funciones lineales

① y = mx — proporcionalidad
② y = mx + n — función lineal general
③ Aplicaciones — movimientos
④ Dos funciones — estudio conjunto

Funciones cuadráticas

⑤ y = ax² + bx + c — parábola
Vértice y eje de simetría
Representación gráfica
Aplicaciones reales

🔑 Conceptos clave de toda la unidad

Concepto	Definición rápida
Función	Relación que asigna a cada valor de x un único valor de y
Pendiente (m)	Inclinación de la recta: cuánto sube/baja y por cada unidad de x
Ordenada en el origen (n)	Valor de y cuando x = 0 (donde corta al eje Y)
Parábola	Curva simétrica que representa funciones cuadráticas
Vértice	Punto máximo o mínimo de una parábola

1 Función de Proporcionalidad y = mx

📐 Definición y características

y = mx

Las dos variables son proporcionales entre sí.
Se representa mediante una recta que pasa por el origen (0, 0).
m es la constante de proporcionalidad = pendiente.
Si m > 0 → recta creciente. Si m < 0 → recta decreciente.

Cuanto mayor sea |m|, más inclinada está la recta respecto al eje X.

📊 Ejemplos del libro

Vehículo	Velocidad	Ecuación	Pendiente
🏍️ Moto	1 km/min	y = x	m = 1
🚗 Coche	2 km/min	y = 2x	m = 2
🚲 Bicicleta	0,5 km/min	y = ½x	m = ½

📏 Cómo calcular la pendiente

A partir de la gráfica

Mide cuánto sube y y cuánto avanza x entre dos puntos:

m = variación de y / variación de x = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

Cómo representar y = mx

Paso 1: Sabemos que pasa por (0, 0).
Paso 2: Damos un valor a x y calculamos y. Por ejemplo, si x = 5: calculamos y.
Paso 3: Unimos los dos puntos con una recta.

Para y = (3/5)x → si x = 5, entonces y = 3. La recta pasa por (0,0) y (5,3).

Pendiente desde dos puntos

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)

La pendiente es positiva si la recta sube de izquierda a derecha, y negativa si baja.

2 Función Lineal y = mx + n

📐 Definición y elementos

y = mx + n

Pendiente (m)

Es el coeficiente de x.
Indica la inclinación de la recta.
Si m = 0 → recta horizontal (función constante).

Ordenada en el origen (n)

Es el término independiente.
Cuando x = 0, y = n.
Es el punto donde la recta corta al eje Y: (0, n).

Ejemplo: factura del agua = y = 3 + 1,5x (3€ fijos + 1,50€ por m³).

📝 Ecuación a partir de un punto y la pendiente

y = y₀ + m(x − x₀) → ecuación punto-pendiente

Ejemplos

Punto	Pendiente	Ecuación
P(3, 7)	m = 4	y = 7 + 4(x − 3) → y = 4x − 5
P(−2, 5)	m = −2/3	y = 5 − (2/3)(x + 2) → y = −(2/3)x + 11/3
P(4, −1)	m = 1,2	y = −1 + 1,2(x − 4) → y = 1,2x − 5,8
P(1, −3)	m = 0	y = −3

📌 Ecuación a partir de dos puntos

Calcular la pendiente: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
Usar la ecuación punto-pendiente con uno de los puntos.

Ejemplo: recta por P(5,3) y Q(−3,4)

m = (4−3)/(−3−5) = 1/(−8) = −1/8

Ecuación: y = 3 − (1/8)(x − 5)

¡Da igual qué punto elijas! Con los dos puntos obtendrás la misma ecuación final.

Representar y = mx + n (método práctico)

Marca el punto (0, n) en el eje Y.
Desde ahí, usa la pendiente para encontrar otro punto.
Si n es fraccionario, busca dos puntos con coordenadas enteras.

3 Aplicaciones: Movimientos

🚀 Funciones lineales en movimientos

Las funciones lineales describen fenómenos donde dos magnitudes son proporcionales. En movimientos uniformes: tiempo → distancia recorrida.

La velocidad es la pendiente de la función distancia-tiempo.

📋 Problemas tipo

Situación	Ecuación	Significado
Alicia camina a 5 km/h desde su casa	d = 5t	Pendiente = velocidad; corte en origen = sale de casa
Jaime salió hace 2 h a 4 km/h	d = 4(2 + t)	n = 8 (ya lleva 8 km recorridos)
Ricardo está a 40 km, viene a 15 km/h	d = 40 − 15t	Pendiente negativa = se acerca
Peregrina a 50 km de Santiago, camina a 6 km/h desde las 8h	d = 50 − 6(t − 8)	Origen desplazado a las 8h

🔍 Cómo plantear problemas de movimiento

Identifica el origen de coordenadas (punto y momento de referencia).
Determina la pendiente (velocidad, positiva si se aleja, negativa si se acerca).
Determina la ordenada en el origen (distancia inicial al punto de referencia).
Escribe la ecuación d = mt + n.
Para encontrar un encuentro: iguala las dos ecuaciones y resuelve.

El encuentro de dos personas ocurre cuando sus distancias al punto de referencia son iguales → sistema de ecuaciones.

4 Estudio de Dos Funciones Lineales

🔄 Representar dos funciones juntas

Se representan en los mismos ejes.
El punto de corte indica igualdad de las dos magnitudes.
Si no se ve claro en la gráfica, se resuelve el sistema de ecuaciones.

El punto de corte tiene un significado real: el momento y lugar donde coinciden las dos situaciones.

📋 Problema resuelto: Paula y Álex

Paula sale a las 10h a 4 km/h. Álex sale a las 12h a 12 km/h. Viven a 24 km.

Ecuaciones (referencia = casa de Paula, t = horas desde las 12h)

Álex: d = 24 − 12t (sale de casa de Paula, va hacia allí)
Paula: d = 4(t + 2) (lleva 2h andando cuando sale Álex)

Resolución del sistema

24 − 12t = 4(t + 2) → 24 − 12t = 4t + 8 → 16 = 16t → t = 1, d = 12

✅ Se encuentran a las 13h, a 12 km de la casa de Paula.

🎯 Método para resolver el sistema

{ y = m₁x + n₁
y = m₂x + n₂ } → m₁x + n₁ = m₂x + n₂

Iguala las dos expresiones y despeja x. Sustituye en cualquiera de las ecuaciones para hallar y.

El punto de corte (x, y) representa el instante y la posición del encuentro.

5 Parábolas y Funciones Cuadráticas

📈 La función cuadrática

y = ax² + bx + c (con a ≠ 0)

Forma de la parábola según a

Si a > 0 → ramas hacia arriba (mínimo)
Si a < 0 → ramas hacia abajo (máximo)
Mayor |a| → parábola más estrecha
Menor |a| → parábola más ancha

Elementos clave

Vértice: punto máximo o mínimo
Eje de simetría: x = x₀ (vertical)
Dos ramas: creciente y decreciente
Corte con eje Y: punto (0, c)

📍 La parábola tipo: y = x²

x	−4	−2	−1	0	1	2	4
y	16	4	1	0	1	4	16

Simétrica respecto al eje Y.
Vértice en el origen (0, 0).
Mínimo en el punto (0, 0).

🗺️ Pasos para representar y = ax² + bx + c

Paso 1. Vértice: abscisa x₀ = −b/(2a). Ordenada: f(x₀).

        Paso 2. Puntos próximos al vértice: calcular f para x₀−1, x₀+1, x₀−2, x₀+2…
      

        Paso 3. Corte con los ejes:

        • Eje Y: punto (0, c)

        • Eje X: resolver ax² + bx + c = 0 (puede tener 0, 1 o 2 soluciones)

Paso 4. Representar eligiendo escalas adecuadas.

Ejemplo: y = x² − 3x − 4

Vértice: x₀ = −(−3)/(2·1) = 1,5 → y = (1,5)² − 3(1,5) − 4 = −6,25 → V(1,5; −6,25)
Corte eje Y: (0, −4)
Corte eje X: x² − 3x − 4 = 0 → x₁ = −1, x₂ = 4

🌍 Aplicaciones reales de las parábolas

🏀 Trayectoria de un balón lanzado a canasta.
📡 Antenas parabólicas de satélite.
💡 Secciones de los faros de coches.
⛽ Espacio de frenado de un coche: e = 0,007·4v² + 0,21v
🪨 Altura de una piedra lanzada: a = v₀t − 4,9t²

✏️ Ejercicios — Apartados ① y ②

Función de proporcionalidad (y = mx) y Función lineal (y = mx + n)

EJ 1

Indica la pendiente de las siguientes rectas y dibújalas en ejes cartesianos:

y = 3x
y = −2x
y = (1/2)x
y = −(3/4)x

EJ 2

Representa las siguientes funciones en unos ejes cartesianos:

y = 3x − 2
y = 3 − 2x
y = (3/4) − (1/4)x
y = (2/3)x − 5
y = −2
y = (5x − 3)/2

EJ 3

Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente indicada:

P(−2, 5), m = 3
P(0, −5), m = −2
P(0, 0), m = 3/2
P(−2, −4), m = −2/3

EJ 4

Obtén la ecuación de la recta que pasa por los siguientes pares de puntos:

A(2, −1) y B(3, 4)
A(−5, 2) y B(−3, 1)
A(1/2, 2) y B(1, 1/3)

EJ 5

Da la pendiente de estas rectas y represéntalas. ¿Qué conclusión sacas?

y = 2x
y = 2x − 3
2x − y + 1 = 0
4x − 2y + 5 = 0

EJ 6

Un grifo llena un depósito de 8 m de alto. La altura del agua varía con el tiempo según y = (5/4)t (a en metros, t en minutos).

Representa la función.
¿Es una función de proporcionalidad?
Di cuál es la pendiente y explica su significado.

✏️ Ejercicios — Apartados ③ y ④

Aplicaciones de funciones lineales y estudio conjunto de dos funciones

EJ 7

Un robot va a una velocidad de 7 m/min.

¿Qué distancia recorre en t minutos?
Si lo pusimos en marcha hace 2 min, ¿a qué distancia estará de nosotros dentro de t min?

EJ 8

Mamen anda a 3 km/h y su casa está a 10 km de la piscina. Escribe una ecuación para cada enunciado:

Si empieza a andar ahora, ¿qué distancia habrá recorrido dentro de t horas?
Si empezó a andar hace 3 h, ¿qué distancia habrá recorrido dentro de t horas?
Si sale de su casa ahora, ¿a qué distancia estará de la piscina dentro de t horas?
Si salió de su casa a las 10:00, ¿a qué distancia se encontrará de la piscina a las t horas?
Si salió de su casa hace 3 horas para bañarse, ¿a qué distancia estará de la piscina dentro de t horas?

EJ 9

Un tren AVE sale a las 10h desde una ciudad a 750 km de la nuestra a 200 km/h. Un tren de mercancías salió 2 horas antes a 50 km/h por vía paralela.

Expresa mediante dos funciones la distancia a nuestra ciudad de cada tren al cabo de t horas.
Representa las dos rectas en unos ejes coordenados.
Indica en qué punto se cortan las dos rectas y qué significa.
Calcula mediante un sistema de ecuaciones la hora a la que se cruzan los trenes.

EJ 10

En cada enunciado, halla la ecuación y representa la función lineal en unos ejes coordinados:

Antonio compra naranjas a 3 €/kg. ¿Cuánto le costarán p kg?
Sonia sale con su coche a las 8:00 a 120 km/h. ¿Qué distancia habrá recorrido a las t horas?
A Juan le cobran 5 € por alquilar unos patines, más 1 € por cada hora de patinaje. ¿Cuánto le cobrarán por t horas?
Tengo 25 € y el taxi me ha cobrado 2,50 € por la bajada de bandera más 1,20 € por km. ¿Cuánto dinero me quedará si el taxi me lleva a d km de distancia?

EJ 11

Bárbara salió en bici de su casa hacia la de Víctor a 15 km/h hace 2 horas. Víctor sale ahora andando a 6 km/h en su busca. Viven a 58 km.

Expresa mediante dos funciones la distancia de cada uno a casa de Víctor.
Representa en ejes coordinados las dos rectas. Indica el punto de corte y lo que representa.
Sabiendo que Bárbara salió a las 8:00, ¿a qué hora y a qué distancia de la casa de Bárbara se encuentran?

✏️ Ejercicios — Apartado ⑤

Parábolas y funciones cuadráticas

EJ 12

Asocia cada función cuadrática con su parábola (indica si tiene ramas hacia arriba o abajo, y si es más estrecha o ancha que y = x²):

y = 2x² − 2x + 1
y = −x² + x − 3
y = (1/2)x² − 1
y = −3x² + 8x

EJ 13

Representa las siguientes parábolas hallando el vértice, puntos próximos y cortes con los ejes:

y = x² − 2x + 3
y = x² − 6x + 5
y = −3x² + 6x − 3
y = −x² + 5

EJ 14

Di cuál es el punto (abscisa y ordenada) del vértice de estas parábolas. Indica si es máximo o mínimo:

y = x² − 5
y = 3 − x²
y = −2x² − 4x + 3
y = 5x² + 20x + 20
y = −(5/2)x² + 5x − 3/2

EJ 15

La altura (a) a la que se encuentra una piedra lanzada hacia arriba en función del tiempo viene dada por: a = 20t − 5t²

Representa gráficamente la función.
¿Di cuál es el dominio de definición?
¿Cuándo alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura?
¿En qué momento toca la piedra el suelo?
¿En qué intervalo de tiempo la piedra está a una altura superior a 15 metros?

EJ 16

Dibuja estas funciones y determina el vértice de cada una:

y = (1/4)x² + x − 2
y = 2x² − 10x + 8

EJ 17

Esta tabla muestra las longitudes de unos postes y sus sombras:

Poste (m)	0,5	1	1,5	2	2,5
Sombra (m)	1,25	2,5	3,75	5	6,25

Escribe la ecuación que relaciona la longitud de la sombra con la altura del poste.
¿Qué longitud tiene la sombra de un poste de 3,5 m? ¿Cuál es la altura de un poste que arroja una sombra de 3 m?
Representa la función altura del poste → longitud de la sombra.

✅ Soluciones de los ejercicios

Comprueba tus resultados

📘 Soluciones — Ejercicios I (Apartados ① y ②)

Ejercicio 1 — Pendientes

y = 3x → m = 3 (recta creciente, muy inclinada)

y = −2x → m = −2 (recta decreciente)

y = (1/2)x → m = 1/2 (recta creciente, poco inclinada)

y = −(3/4)x → m = −3/4 (recta decreciente)

Todas pasan por el origen (0,0). La representación: marcar (0,0) y otro punto usando la pendiente.

Ejercicio 2 — Representación de y = mx + n

y = 3x − 2: pendiente 3, ordenada en origen −2. Puntos: (0,−2) y (1,1).

y = 3 − 2x: pendiente −2, ordenada en origen 3. Puntos: (0,3) y (1,1).

y = (3/4) − (1/4)x: pendiente −1/4, ordenada 3/4. Puntos enteros: (−1,1) y (3,0).

y = (2/3)x − 5: pendiente 2/3, ordenada −5. Puntos: (0,−5) y (3,−3).

y = −2: recta horizontal, paralela al eje X, pasa por (0,−2).

y = (5x−3)/2 = (5/2)x − 3/2: pendiente 5/2, puntos enteros: (1,1) y (−1,−4).

Ejercicio 3 — Ecuación punto-pendiente

P(−2,5), m=3: y = 5 + 3(x+2) → y = 3x + 11

P(0,−5), m=−2: y = −5 − 2(x−0) → y = −2x − 5

P(0,0), m=3/2: y = (3/2)x

P(−2,−4), m=−2/3: y = −4 − (2/3)(x+2) → y = −(2/3)x − 16/3

Ejercicio 4 — Ecuación por dos puntos

A(2,−1) B(3,4): m = (4+1)/(3−2) = 5. Ecuación: y+1 = 5(x−2) → y = 5x − 11

A(−5,2) B(−3,1): m = (1−2)/(−3+5) = −1/2. Ecuación: y−1 = −(1/2)(x+3) → y = −(1/2)x − 1/2

A(1/2,2) B(1,1/3): m = (1/3−2)/(1−1/2) = (−5/3)/(1/2) = −10/3. Ecuación: y = −(10/3)x + 7/3

Ejercicio 5 — Conclusión sobre rectas paralelas

y = 2x → m = 2

y = 2x − 3 → m = 2

2x − y + 1 = 0 → y = 2x + 1 → m = 2

4x − 2y + 5 = 0 → y = 2x + 5/2 → m = 2

Conclusión: Las cuatro rectas tienen la misma pendiente (m = 2), por lo que son paralelas entre sí.

Ejercicio 6 — Grifo y depósito

Recta que pasa por el origen con pendiente 5/4. El depósito se llena cuando a = 8 m → t = 6,4 min.

Sí, es una función de proporcionalidad porque pasa por (0,0).

Pendiente = 5/4 = 1,25 m/min: el agua sube 1,25 m por cada minuto que pasa el grifo abierto.

📗 Soluciones — Ejercicios II (Apartados ③ y ④)

Ejercicio 7 — Robot

d = 7t (distancia en metros, t en minutos)

Si lleva 2 min en marcha: d = 7(t + 2) = 7t + 14

Ejercicio 8 — Mamen y la piscina

d = 3t (distancia recorrida)

d = 3(t + 3) = 3t + 9

d = 10 − 3t (distancia a la piscina)

d = 10 − 3(t − 10) = 10 − 3t + 30 = 40 − 3t

d = 10 − 3(t + 3) = 1 − 3t

Ejercicio 9 — Trenes

AVE (sale a las 10h): d_AVE = 750 − 200t. Mercancías (sale a las 8h): d_M = 750 − 50(t+2) = 650 − 50t

Se cortan cuando 750 − 200t = 650 − 50t → 100 = 150t → t = 2/3 h ≈ 40 min después de las 10h → a las 10:40 h

Distancia al cruce: d = 750 − 200·(2/3) = 750 − 133,3 ≈ 616,7 km de nuestra ciudad

Ejercicio 10 — Funciones lineales aplicadas

Coste naranjas: c = 3p

Distancia Sonia: d = 120t

Coste patines: c = 5 + t

Dinero restante: m = 25 − 2,50 − 1,20d = 22,50 − 1,20d

Ejercicio 11 — Bárbara y Víctor

Bárbara: d_B = 58 − 15(t+2) = 28 − 15t. Víctor: d_V = 6t (distancias a casa de Víctor)

Sistema: 28 − 15t = 6t → 28 = 21t → t = 4/3 h ≈ 1 h 20 min

Bárbara salió a las 8h, Víctor a las 10h. Se encuentran a las 10h + 1h20min = 11:20 h, a 6·(4/3) = 8 km de la casa de Víctor, es decir, a 58 − 8 = 50 km de la casa de Bárbara.

📙 Soluciones — Ejercicios III (Apartado ⑤)

Ejercicio 12 — Características de parábolas

y = 2x²−2x+1: a=2>0 → ramas arriba; |a|=2>1 → más estrecha que y=x²

y = −x²+x−3: a=−1<0 → ramas abajo; |a|=1 → misma anchura que y=x²

y = (1/2)x²−1: a=1/2>0 → ramas arriba; |a|<1 → más ancha que y=x²

y = −3x²+8x: a=−3<0 → ramas abajo; |a|=3>1 → más estrecha que y=x²

Ejercicio 13 — Representación de parábolas

y=x²−2x+3: Vértice x₀=1, y=2 → V(1,2). No corta al eje X (discriminante<0). Corte Y: (0,3).

y=x²−6x+5: Vértice x₀=3, y=−4 → V(3,−4). Cortes X: x=1, x=5. Corte Y: (0,5).

y=−3x²+6x−3: Vértice x₀=1, y=0 → V(1,0). Toca al eje X en x=1 (tangente). Corte Y: (0,−3).

y=−x²+5: Vértice x₀=0, y=5 → V(0,5). Cortes X: x=√5 ≈ ±2,24. Corte Y: (0,5).

Ejercicio 14 — Vértice: máximo o mínimo

y=x²−5: x₀=0, y=−5 → V(0,−5). a>0 → mínimo

y=3−x²: x₀=0, y=3 → V(0,3). a<0 → máximo

y=−2x²−4x+3: x₀=−(−4)/(2·(−2))=−1, y=5 → V(−1,5). a<0 → máximo

y=5x²+20x+20: x₀=−20/(2·5)=−2, y=0 → V(−2,0). a>0 → mínimo

y=−(5/2)x²+5x−3/2: x₀=−5/(2·(−5/2))=1, y=1 → V(1,1). a<0 → máximo

Ejercicio 15 — Piedra lanzada (a = 20t − 5t²)

Parábola con ramas hacia abajo (a=−5<0). Vértice en t=2, a=20.

Dominio: [0, 4] (desde que se lanza hasta que toca el suelo).

Altura máxima en t=2 s: a = 20·2 − 5·4 = 40 − 20 = 20 metros.

20t − 5t² = 0 → 5t(4−t) = 0 → t=0 o t=4 s.

20t − 5t² > 15 → 5t² − 20t + 15 < 0 → t²−4t+3<0 → (t−1)(t−3)<0 → t ∈ (1, 3) segundos.

Ejercicio 16 — Vértices

y=(1/4)x²+x−2: x₀=−1/(2·1/4)=−2, y=(1/4)·4+(−2)−2=−3 → V(−2,−3)

y=2x²−10x+8: x₀=10/4=2,5, y=2·6,25−25+8=−4,5 → V(2,5; −4,5)

Ejercicio 17 — Postes y sombras

Observando la tabla: sombra = 2,5 · altura del poste → s = 2,5p

Poste de 3,5 m: s = 2,5 · 3,5 = 8,75 m. Sombra de 3 m: p = 3/2,5 = 1,2 m.

Función de proporcionalidad: recta que pasa por el origen con pendiente 2,5. Ejes: altura del poste (eje X), longitud de la sombra (eje Y).